Предложен алгоритм синтеза импульсных стабилизаторов напряжения построенных на основе преобразователей напряжения второго порядка, который базируется на использовании метода разностных уравнений для моделирования ИСН.

Метод разностных уравнений применяется в настроящее время в основном для анализа динамических характеристик импульсных стабилизаторов напряжения (ИСН) [1-3]. Применение аналитических моделей, построенных с использованием этого метода, для синтеза ИСН пока ограничивается или рассмотрением линеаризованных моделей с применением аппарата псевдочастотных характеристик [4], или использованием нелинейных моделей для решения задач вывода схемы на режим и отработки больших возмущений, при которых нарушается нормальная работа широтно-импульсного модулятора (коэффициент заполнения входит в насыщение) [5].

Цель настоящей работы - предложить методику синтеза, основанную на использовании нелинейной модели ИСН, постороенной с помощью метода разностных уравнений. Область применения этой методики ограничивается ИСН с ШИМ-2 и с введенной дополнительной корректирующей связью по току дросселя, построенных на основе известных преобразователей напряжения с силовой частью второго порядка (понижающего, повышающего и инвертирующего типов). Целью синтеза является выбор параметров широтно-импульсного модулятора, таких, чтобы при любых изменениях параметров схемы (напряжения питания и сопротивления нагрузки) в оговоренных пределах, среднее значение напряжения на нагрузке не выходило бы за пределы заданных минимального и максимального значений, то есть держалось бы в пределах некоторого "коридора" напряжений. Условия, при которых такое управление возможно, также будут рассмотрены в этой работе.

Сделаем ряд допущений. Во первых, ограничимся рассмотрением резких, скачкообразных изменений параметров схемы (при этом переходные процессы являются наиболее тяжелыми с точки зрения динамики). Во вторых, будем считать, что эти изменения происходят в начале периода. При таких допущениях можно рассматривать переходный процесс как движение системы при некоторых новых значениях параметров, начиная с начальных условий, определяемых установившимся режимом до возмущения.

В разомкнутой системе при постоянном значении длительности импульса (или, другими словами, коэффициента заполнения), наименьшее значение напряжения на нагрузке оказывается при минимальных значениях напряжения питания и сопротивления нагрузки (Е1,R1), а наибольшее - при максимальных значениях этих параметров (E2,R2). Если нам требуется чтобы среднее значение напряжения на нагрузке в установившемся режиме лежало в пределах минимального и максимального значений U1 и U2, то мы должны построить регулятор таким образом, чтобы при наборе параметров (Е1,R1) устанавливалось некоторое значение длительности импульса t1, а при наборе (Е2,R2) - некоторое значение t2 (отметим, что t1>t2, рост длительности импульса приводит к увеличению напряжения на нагрузке). Кроме того, среднее значение напряжения на нагрузке не должно выходить из "коридора" U1 - U2 в ходе переходных процессов при любых возможных изменениях параметров. Наиболее тяжелые переходные процессы будут иметь место, очевидно, при скачкообразном изменении параметров схемы от (Е1,R1) к (Е2,R2) и наоборот. При этом напряжение на нагрузке должно изменяться от значения U1 до значения U2 и наоборот. Будем называть такие переходы предельными переходами. Если в случае предельных переходов среднее значение напряжения на нагрузке не выходит за пределы коридора U1 - U2, то, по-видимому, при всех прочих допустимых возмущениях параметров напряжение на нагрузке также будет лежать в этих пределах.

Принцип широтно-импульсной модуляции при осуществлении стабилизации выходного напряжения ИСН состоит в сравнении напряжения на нагрузке с некоторым постоянным (опорным) напряжением и пропорциональном увеличении или уменьшении длительности импульса в схеме в зависимости от величины полученной разности. В случае широтно-импульсной модуляции второго рода, для этого используется линейно-изменяющееся напряжение развертки, сравнивающееся с величиной разностного сигнала. Для того чтобы переходные процессы носили апериодический характер, а также для обеспечения устойчивости некоторых типов ИСН (например, построенного на основе повышающего преобразователя напряжения) в закон регулирования вводится дополнительная связь по току дросселя. Технически эта связь может быть введена как в состав развертывающего напряжения, так в состав сравниваемого сигнала. В зависимости от этого способ коррекции называется или "токовым впрыскиванием" или "токовым управлением" [5]. C математической точки зрения, оба способа идентичны.

Уравнение замыкания в этом случае может быть записано в виде:

,

(1)

где t_и - длительность импульса (проводящего состояние силового ключа или существования первой детерминированной структуры схемы), Т - период коммутации, i_L(t), u_н(t) - функции времени мгновенных значений тока дросселя и напряжения на нагрузке (это измеряемые величины в схеме). а0, а1, а2 - некоторые коэффициенты, которые необходимо найти, чтобы обеспечить требуемые статические и динамические характеристики. Наиболее просто эти коэффициенты можно вычислить из алгебраической системы трех уравнений вида (1), два из которых получаются из условий статики для граничных режимов (Е1,R1) и (Е2,R2) и одно - из условий динамики предельного перехода. Ниже приводится математическая модель, с помощью которой находятся параметры этих трех уравнений (t_и, i_L(t_и), u_н(t_и)).

Поведение переменных состояния на интервалах детерминированной структуры схемы (в режиме непрерывного тока таких интервалов два) описывается следующими дифференциальными уравнениями:

,

(2)

где X - вектор переменных состояния (ВПС), А1, А2 - квадратные матрицы , b1, b2 - матрицы столбцы. Отметим, что значения этих матриц зависят от значений параметров схемы которые могут изменяться (напряжения питания и сопротивления нагрузки). Решение (2) для двух интервалов детерминированной структуры может быть записано в виде функций:

,

(3)

где t - время прошедшее с начала данного интервала, Х0, Х1 - значения ВПС, соответственно в начале первого интервала (в начале периода) и в начале второго интервала (в момент коммутации). Для случая ненулевых простых корней функции М1(t) и N1(t) могут быть выражены через матричную экспоненциальную функцию:
,               ,

вычислить которую можно способом, описанным в [6]. Здесь 1 - единичная матрица. В случае нулевого корня функции М1(t) и N1(t) представляются в канонической форме [7]. Функции М2(t) и N2(t) определяются аналогично через матрицу А2.

Среднее значение ВПС за время первого и второго интервалов может быть записано, соответственно, в виде:

, ,

(4)

где

.

S2(t) - определяется аналогично через матрицу A2.

Среднее значение напряжения на нагрузке за период можно определить в виде:

,

(5)

где g1, g2 - матрицы-строки, связывающие переменные с выходом ИСН на соответствующих интервалах.

Учитывая (3) можно получить следующее рекуррентное соотношение описывающее динамические процессы в системе:

,

(6)

где Х[k], t_и[k] - решетчатые функции значений ВПС в начале k-го периода и длительности импульса для k-го периода.

В установившемся режиме (X[k+1]=X[k]=Xo, t_и[k]=to) можно выразить:

Xo=(1-M2(T-to)·M1(to))-1·(M2(T-to)·N1(to)·b1+ N2(T-to)·b2)

(7)

Значение ВПС в момент коммутации в установившемся режиме запишется в виде:

X1o=M1(to)·Xo+N1(to)·b1

(8)

Подставляя в (5) to, Xo, X1o вместо t_и , X0, X1 и учитывая (7) и (8) получим в конечном итоге выражение для среднего значения напряжения на нагрузке в установившемся режиме:

Uн=[(g1·N1(to)+g2·N2(T-to)·M1(to))× ×(1-M2(T-to)·M1(to))-1·(M2(T-to)·N1(to)·b1+ +N2(T-to)·b2)+g2·(N2(T-to)·N1(to)·b1+ +S2(T-to)·b2)+g1·S1(to)·b1]/T

(9)

Задавшись значениями параметров схемы и желаемым напряжением на нагрузке можно, решая (9) относительно переменной tо, определить требующуюся длительность импульса, а затем, используя (7), (8) получить значения ВПС в момент коммутации и, следовательно, вычислить параметры уравнения (1). Так для набора параметров схемы (E1,R1) и напряжения на нагрузке U1 получим значения длительности импульса t1, тока в дросселе i1 и напряжения на нагрузке u1 в момент коммутации для установившегося режима. Аналогично получим t2,i2,u2 для второго режима (E2,R2,U2). Таким образом, мы получили два уравнения вида (1). Для системы из трех алгебраических уравнений нам не хватает еще одного. Третье уравнение необходимо получить из условий динамики. Поскольку наиболее жесткие условия для схемы, с точки зрения динамики, существуют в режимах предельных переходов (например движение от U1 к U2 при скачкообразном изменении параметров от E1,R1 к E2,R2), будем рассматривать для вывода коэффициентов третьего уравнения вида (1) именно эти процессы.

Для того чтобы схема оставалась управляемой в течение всего переходного процесса необходимо, чтобы коэффициент заполнения не входил в насыщение, или, другими словами, выполнялось неравенство 0 < t _и < T.

Для первого периода после скачкообразного изменения параметров среднее значение напряжения на нагрузке может быть вычислено по формуле:

Uн=[g1·(N1(tи)·X0+S1(tи)·b1)+ +g2·(N2(T-tи)·(M1(tи)·X0+N1(tи)·b1)+ +S2(T-tи)·b2)]/T,

(10)

где X0 - начальные условия - значение ВПС в начале периода, соответствующее установившемуся режиму, существовавшему в системе до подачи возмущения. Зависимость среднего напряжения на нагрузке от длительности импульса для 1-го периода показана на рис.1(а) и 1(б), соответственно для преобразователей понижающего и повышающего типов.

Uн, В

tи, c

a)

Uн, В

tи, c

б)

Рис. 1 Зависимость среднего напряжения на нагрузке для первого периода от длительности импульса для понижающего (а) и для повышающего (б) преобразователей

Если значение длительности импульса для первого периода после подачи возмущения известно (например задано t_и=t3=const), то можно рассчитать, используя функцию f1(t,X0) (3) величины напряжения на нагрузке и тока в дросселе в момент коммутации (u3,i3) и, следовательно, получить параметры третьего алгебраического уравнения вида (1). Тогда коэффициенты уравнения замыкания могут быть рассчитаны по формуле:

(11)

Каждому значению длительности импульса для первого периода t3, лежащему в диапазоне 0 < t3 < T, соответствуют свои значения коэффициентов уравнения замыкания а0 - а2 и своя форма переходного процесса в замкнутой схеме. Поэтому варьируя значение t3 можно добиться желаемой формы кривой переходного процесса (зависимости среднего значения напряжения на нагрузке от времени), а именно, добиться достаточно быстрого перехода напряжения на нагрузке от U1 к U2 не выходя при этом за границы данного "коридора" напряжений.

Как показала практика, удается достаточно быстро подобрать значение длительности импульса t3 удовлетворяющее этим требованиям, если кривая значений среднего напряжения на нагрузке для первого периода лежит в нижней трети "коридора" напряжений U2 - U1 (для случая предельного перехода от E1,R1 к E2,R2), как это имеет место в случае показанном на рис.1(а,б).

На рис.2(а,б) приведены характеристики предельных переходов для ИСН построенных на основе идеальных преобразователей понижающего и повышающего типов с коэффициентами а0 - а2, рассчитанными по приведенной методике.

Uн, В

t, c

a)

Uн, В

t, c

б)

Рис. 2. Характеристики предельных переходов в ИСН на основе понижающего (а) и повышающего (б) преобразователей напряжения.
- при скачке от (R1,E1) к (R2,E2),         - при скачке от (R2,E2) к (R1,E1)

Параметры понижающего преобразователя следующие: значения индуктивности дросселя и емкости конденсатора: L = 2.5 Гн, С = 100 Ф; величина периода коммутации Т = 1 с ; параметры граничных режимов: напряжение питания Е1 = 8 В, Е2 = 12 В, сопротивление нагрузки R1 = 1,67 Ом, R2 = 5 Ом , напряжение на нагрузке должно находиться в диапазоне U1 = 4.975 В, U2 = 5.025 В. Подобранное значение длительности импульса для 1-го периода после подачи возмущения составило t3 = 0.37 с, рассчитанные значения коэффициентов замыкания а0 = 92.28, а1 = 0.3846, а2 = 18.16.

Параметры повышающего преобразователя: L = 10 Гн, С = 11.25 Ф, Т = 1 с, Е1 = 8 В, Е2 = 12 В, R1 = 26.7 Ом, R2 = 80 Ом, U1 = 19.9 В, U2 = 20.1 В. Подобранное значение длительности импульса для 1-го периода t3 = 0.3268 с, рассчитанные значения коэффициентов а0 = 269.6, а1 = 1.865, а2 = 13.34.

Литература

[1] Львов Е.Л. Импульсные передаточные функции электрических цепей с полностью управляемыми ключами при питании от источников постоянного напряжения // Электромеханика. - 1981. - N12.- с.1361-1368.
[2] Мелешин В.И. Динамические свойства преобразователей с ШИМ-2 в режимах прерывистого и непрерывного токов // ЭТвА, вып.17, 1986г. с.35-58.
[3] Соболев Л.Б. О возможности применения метода ЛЧХ к анализу преобразователей с переменной структурой // ЭТвА, вып.17, 1986 г с.58-70.
[4] Мелешин В.И., Мосин В.В., Опадчий Ю.Ф. Формирование динамических свойств устройств вторичного электропитания с ШИМ-2 // ЭТвА, вып.16 - 1985 - с.5-44.
[5] Cоболев Л.Б. Прямой синтез переходных характеристик преобразователей постоянного напряжения // Электротехника - 1992 - N6- 7 - с.52-57.
[6] Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов - М.: Энергоатомиздат, 1989 - 528с.
[7] Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования М.Наука, 1967, 324с.

© 1998, © 2008 Бердников Д.В.